18. Análisis dimensional | Unidades y medidas | 🎓 Joseleg 🎓

[Ciencias de Joseleg] [Física] [Mecánica] [Unidades y medidas] [Ejercicios resueltos] [1-Introducción] [2-Medición y el método científico][3-Que son las unidades de medición][4-Historia de la medición][5-Sistema métrico decimal][6-Viejo sistema internacional de unidades] [7-Unidades fundamentales] [8-Nuevo Sistema internacional de unidades][ 9-Unidades derivadas][10-Prefijos decimales y notación exponencial][11-Lenguaje del sistema internacional][12-El sistema imperial][13-Cifras significativas][14-Notación científica][15-Conversiones de unidades][16-Medición e incertidumbre][17-Regla de tres analítica][18-Análisis dimensional][Referencias]

 

En ingeniería y ciencia, el análisis dimensional es el análisis de las relaciones entre diferentes cantidades físicas mediante la identificación de sus cantidades base (como longitud, masa, tiempo y carga eléctrica) y unidades de medida (como millas frente a kilómetros o libras frente a kilogramos) y el seguimiento de estas dimensiones a medida que se realizan cálculos o comparaciones. La conversión de unidades de una unidad dimensional a otra es a menudo más fácil dentro del sistema métrico o SI que en otros, debido a la base regular de 10 en todas las unidades. El análisis dimensional, o más específicamente el método de factor de conversión, también conocido como método de factor unitario, es una técnica ampliamente utilizada para tales conversiones utilizando las reglas del álgebra.

El concepto de dimensión física fue introducido por Joseph Fourier en 1822. Las cantidades físicas que son del mismo tipo (también llamadas conmensurables) (por ejemplo, longitud, tiempo o masa) tienen la misma dimensión y pueden compararse directamente con otras cantidades físicas del mismo tipo (es decir, longitud, tiempo o masa), incluso si se expresan originalmente en diferentes unidades de medida (como yardas y metros). Si las cantidades físicas tienen diferentes dimensiones (como longitud versus masa), no pueden expresarse en términos de unidades similares y no pueden compararse en cantidad (también llamado inconmensurable). Por ejemplo, preguntar si un kilogramo es más grande que una hora no tiene sentido.

Homogeneidad dimensional

Cualquier ecuación físicamente significativa (y cualquier desigualdad) tendrá las mismas dimensiones en sus lados izquierdo y derecho, una propiedad conocida como homogeneidad dimensional.

La verificación de la homogeneidad dimensional es una aplicación común del análisis dimensional, que sirve como una verificación de plausibilidad en ecuaciones y cálculos derivados. También sirve como guía y restricción para derivar ecuaciones que pueden describir un sistema físico en ausencia de una derivación más rigurosa.

Así pues, en la práctica en análisis dimensional se reduce a la revisión de la homogeneidad dimensional, este proceso puede hacerse de manera explícita para todo problema o de manera implícita siempre y cuando la estructura de la ecuación lo permita.

Análisis dimensional explícito

En el análisis dimensional explícito, reemplazamos evidentemente las unidades de las constantes y los términos que sirven como datos, luego multiplicando y dividiendo las unidades pertinentes, debemos llegar a una unidad que concuerde con la variable despejada. lo anterior implica necesariamente que sí hemos despejado la variable desplazamiento, la unidad de la respuesta deberá ser metros o un equivalente en el sistema internacional o en el sistema imperial; sí hemos despejado un volumen, la unidad resultante debe ser litro o un equivalente en el sistema internacional o en el sistema imperial. Lo anterior nos lleva a las reglas de cancelación de unidades:

Ejemplo. Convertir 1.18 mg/mL a g/L por regla de tres.

Ejemplo. Convertir 1.18 mg/mL a g/L por factor de conversión.

Ejemplo. Convertir 1.18 mg/mL a g/L por reemplazo algebraico.

Ejemplo. Completar el siguiente cálculo y expresar las unidades de manera correcta teniendo en cuenta que el parámetro (n) o cantidad de sustancia se mide en moles n(CO2) = 40 g / 44 g/mol.

Ejemplo. Realizar la siguiente operación y realizar el análisis dimensional con regla de tres (40 L) x 1.14 mg/mL, exprese el resultado en gramos.

Ejemplo. Realizar la siguiente operación y realizar el análisis dimensional con factor de conversión (40 L) x 1.14 mg/mL, exprese el resultado en gramos.

Ejemplo. Realizar la siguiente operación y realizar el análisis dimensional con reemplazo algebraico (40 L) x 1.14 mg/mL, exprese el resultado en gramos.

Ejemplo. Realizar la siguiente operación y realizar el análisis dimensional con regla de tres (25 L) x 1.52 mg/mL, exprese el resultado en gramos.

Ejemplo. Realizar la siguiente operación y realizar el análisis dimensional con factor de conversión (25 L) x 1.52 mg/mL, exprese el resultado en gramos.

Ejemplo. Realizar la siguiente operación y realizar el análisis dimensional con reemplazo algebraico (25 L) x 1.52 mg/mL, exprese el resultado en gramos.

Análisis dimensional implícito

👉 Si tenemos un cociente de variable semejante, con las mismas unidades, estas se pueden cancelar analíticamente, es decir, se puede reemplazar el valor del enunciado, pero sin su unidad de manera directa para ahorrarnos tiempo, y tener una menor carga simbólica. El proceso anterior lo denominaremos como el análisis dimensional implícito (García García, 2020). Observe que en análisis de homogeneidad no necesita de un reemplazo explícito de unidades, siempre y cuando asumamos que las variables homólogas tienen el mismo tipo de unidad, por ejemplo, que las dos presiones dadas estén en atmósferas.

👉 Aunque es opcional, cuando estemos despejando una variable en un proceso analítico, debemos buscar que la fórmula final se encuentre en su forma más elegante posible. la pregunta es ¿qué entendemos nosotros por una fórmula elegante? Normalmente la ley de Boyle requiere despejar una variable, por ejemplo, el volumen final, la pregunta es ¿Cuál es el modo de despeje que me facilita un análisis de homogeneidad dimensional?, miremos varias opciones para el despeje del volumen final (V) en términos de la presión final (P) y sus correspondientes versiones iniciales (V°)(P°).

Aunque las tres ecuaciones anteriores son la misma, solo una de las expresiones me facilita el análisis de homogeneidad dimensional, y es aquella en la cual se hace evidente la existencia de un cociente de variables homogéneas Ecuación ( 18.9 ). Si asumimos que las presiones final e inicial están expresadas en la misma unidad, dichas unidades deben cancelarse, por lo que ambos lados de la expresión deberán estar dadas en unidades de volumen.

¿Por qué es importante esto? Resulta que, en química, a diferencia de la física, las ecuaciones despejadas tienden a generar muchos cocientes de variables homogéneas, por lo que podremos realizar un análisis dimensional rápidos o implícito. En resumen, para hacer un análisis dimensional rápido o implícito deberemos tener dos condiciones.

👉 La ecuación debe tener variables homogéneas que generan cocientes al despejar, es muy común en aquellas que describen cambios entre momentos finales e iniciales.

👉 Las unidades dadas de las variables homogéneas también deben ser homogéneas, por ejemplo, si tenemos una pareja de dos masas, inicial y final, ambas deben estar dadas en gramos, o ambas deben estar dadas en toneladas, si las unidades no son homogéneas debe realizarse el factor de conversión.

Química de Chang 10

Problema-1.35a. Se midieron tres longitudes cuyos valores fueron 5.6792 m 0.6 m 4.33 m. Sume las longitudes y exprese el resultado con el número de cifras significativas correcto.

Problema-1.35b. Una masa medida de 3.70 g le fueron retirados exactamente 2.9133 g. Determine la masa final con el número de cifras significativas correcto.

Problema-1.35c. Calcule el área de un rectángulo de lados 4.51 cm x 3.6666 cm exactamente, teniendo en cuenta el número correcto de cifras significativas.

Problema-1.35d. Un objeto de masa 3 x 10⁴ g que ocupaba 0.043 cm³ aumentó su masa en 6.827 g, pero disminuyó su volumen en 0.021 cm3. Determine la densidad final teniendo en cuenta el número de cifras significativas.

Problema-1.36a. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (a) 7.310 km ÷ 5.70 km

Problema-1.36b. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (3.26 x 10-2 mg) - (7.88 x 10-5 mg).

Problema-1.36c. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (4.02 x 106 dm) + (7.74 x 107 dm).

Problema-1.36d. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (7.8 m – 0.34 m)/(1.15 s + 0.82 s).

 

17. La regla de tres analítica | Unidades y medidas | 🎓 Joseleg 🎓

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En matemáticas, específicamente en aritmética y álgebra elementales, dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales, se puede realizar una multiplicación cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable no conocida. En otras palabras, podemos reducir al principio a:

👉 sí conoces 3 datos puedes calcular una incógnita.

El método también se conoce ocasionalmente como el método de "cruzar el corazón" porque se pueden dibujar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué cosas se deben multiplicar.

Sin embargo, la forma aritmética de la regla de tres tiene defectos a la hora de hacer conversiones de unidades, entre los que podemos contar:

👉 Posee pasos extra para una sola conversión en comparación con el factor de conversión o el reemplazo algebraico.

👉 No permite resolver situaciones anidadas fácilmente.

Sin embargo, en esta sección no vamos a discutir la regla de 3 aritmética que ya fue discutida en la sección de conversión de unidades. Lo que en verdad nos interesa es una generalización de la regla de 3 que se aplica a situaciones algebraicas, específicamente a las leyes de la naturaleza que cumplen la forma general de un modelo lineal con intersección en el origen (b = 0).

Donde las variables de los respectivos ejes (x)(y) representan cantidades o magnitudes físicas y la pendiente (m) representa una constante de proporcionalidad. La aplicación de una regla de tres analítica sobre una ley natural que sigue el modelo lineal permite cancelar la pendiente, o en otras palabras ignorar la constante de proporcionalidad que normalmente se desconoce, asumiendo que la constante de proporcionalidad es igual entre dos estados del sistema.

Normalmente los estados del sistema se asumen con la variable de tiempo relativo es decir el sistema en un momento inicial con respecto al sistema en un momento final; aunque también podemos asumir un sistema en un estado estándar o medido en tablas que se encuentran en la literatura científica o en el enunciado del ejercicio y compararlo con el sistema en un momento problema.

En cualquier caso una vez que hemos cancelado la pendiente el sistema adquiere la forma de una regla de tres analítica en la cual vamos a contar con dos variables estándar o iniciales y dos variables problema o finales. Con lo anterior, el enunciado lo único que tiene que hacer es darnos un dato en el momento final o problema, y con la ayuda de los 2 datos iniciales o estándar, podremos calcular la incógnita final o problema.

Debe tener en cuenta que la regla de 3 analítica sólo funciona sobre leyes naturales que siguen el modelo lineal.

Dos formas de igualación

DEMOSTRACIÓN: Igualar una ecuación lineal con intercepto en el origen para dos puntos diferentes llamados inicial y final mediante (a) Igualación a la pendiente (b) división algebraica.

Adicionalmente esta técnica también servirá para los modelos lineales inversos, que siguen la fórmula general:

DEMOSTRACIÓN: Igualar una ecuación lineal inversa y = 1/x para dos puntos diferentes llamados inicial y final mediante (a) Igualación a la pendiente (b) división algebraica.

En general denominaremos a las formas de las leyes naturales en las que hemos aplicado la regla de tres analítica, como las formas dinámicas, porque nos permiten determinar cómo es el cambio en una propiedad físico-química en términos de tres términos conocidos, siendo uno de ellos la misma propiedad pero en un momento inicial. Sin embargo, esta técnica posee limitantes, el principal es que no toma en cuenta lo que sucede en los momentos de tiempo que transcurren entre el inicio y el fin, pues para ello deberemos aplicar otras técnicas matemáticas más sofisticadas derivadas del cálculo infinitesimal.

Ejemplo. La ley de Boyle se representa en su forma estática como P = k (1/V), encuentre su forma dinámica y despeje las variables de volumen final V y presión final P.

Ejemplo. La ley de Charles se representa en su forma estática como V = k T, encuentre su forma dinámica y despeje las variables de volumen final V y temperatura final T.

Ejemplo. La ley de Gay-Lussac se representa en su forma estática como P = k T, encuentre su forma dinámica y despeje las variables de temperatura final T y presión final P.

Ejemplo. La primera ley de Avogadro se representa en su forma estática como N = k V, encuentre su forma dinámica y despeje las variables de número de moléculas final N y volumen final V.

Ejemplo. La segunda ley de Avogadro se representa en su forma estática como V = k n, encuentre su forma dinámica y despeje las variables de volumen final V y cantidad de sustancia final n.

Ejemplo. La tercera ley de Avogadro se representa en su forma estática como N = k n, encuentre su forma dinámica y despeje las variables de número de entidades final N y cantidad de sustancia final n.

Ejemplo. La ley de Henry se representa en su forma estática como c = k P, encuentre su forma dinámica y despeje las variables de concentración final c y presión final P.

 

12. El sistema imperial Británico | Unidades y medidas | 🎓 Joseleg 🎓

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El sistema imperial de unidades, sistema imperial, unidades imperiales, unidades Británicas, sistema Imperial Británico, unidades inglesas o Estándares de Hacienda de 1826 (Hosch, 2010), es el sistema de unidades definido por primera vez en la Ley de Pesas y Medidas Británicas de 1824 y continuó desarrollándose a través de una serie de Leyes y enmiendas de Pesos y Medidas.

El sistema imperial se desarrolló a partir de unidades inglesas anteriores, al igual que el sistema relacionado pero diferente de unidades tradicionales de los Estados Unidos. Las unidades imperiales reemplazaron a los Estándares de Winchester, que estuvieron vigentes desde 1588 hasta 1825 (Chaney, 1897). El sistema entró en uso oficial en todo el Imperio Británico en 1826.

A finales del siglo XX, la mayoría de las naciones del antiguo imperio habían adoptado oficialmente el sistema métrico como su principal sistema de medición, pero las unidades imperiales todavía se utilizan junto con las unidades métricas en el Reino Unido y en algunas otras partes del antiguo imperio, especialmente Canadá, Estados y Unidos de América.

El sistema imperial se fundamenta en las mediciones históricas y la necesidad de tener pesos y medidas que permiteran la venta de bienes y servicios para operar de manera eficiente al interior de las fronteras dem Imperio Británico. Por ejemplo, el pie, una medida de unos 30 cm de longitud (o la longitud de una regla estándar), fue definido por primera vez en la ley por Eduardo I “el zanquilargo” en 1305, y se cree que se deriva de la longitud del pie de un hombre con zapatos.

Para aquellos que no han sido educados usando el sistema imperial para medir, puede parecer una forma muy difícil de medir las cosas. No opera en un sistema de unidades base y prefijos estándar, como el SI, por lo que esto significa que hay muchas relaciones diferentes para recordar para cada conjunto de medidas. Estos tampoco se basan en el número diez (como el SI), por lo que los cálculos y conversiones entre unidades no son tan sencillos.

Orígenes

El sistema imperial británico evolucionó a partir de las miles de unidades locales romanas, celtas, anglosajonas y tradicionales empleadas en la Edad Media. Los nombres tradicionales como libra, pie y galón se usaban ampliamente, pero los valores así designados variaban con el tiempo, el lugar, el comercio, las especificaciones del producto y docenas de otros requisitos (Augustyn, 2021).

Los primeros estándares reales establecidos para imponer la uniformidad tomaron el nombre de Winchester, en honor a la antigua capital de Gran Bretaña, donde el rey sajón del siglo X, Edgar “el Pacifico”, mantuvo una medida de celemín real y muy posiblemente otras. Los estatutos del siglo XIV registraron una yarda (tal vez basado originalmente en una vara o palo) de 3 pies, cada pie contenía 12 pulgadas, cada pulgada equivale a la longitud de tres granos de cebada (empleados simplemente como un dispositivo de aprendizaje ya que el estándar real era el espacio entre dos marcas en una barra de jardín). También se especificaron unidades de capacidad y peso  (Augustyn, 2021)

A finales del siglo XV, el rey Enrique VII reafirmó los estándares habituales de Winchester en cuanto a capacidad y longitud y distribuyó los estándares reales (encarnaciones físicas de las unidades aprobadas) por todo el reino. Este proceso se repitió aproximadamente un siglo después, durante el reinado de la reina Isabel I  (Augustyn, 2021)

En el siglo XVI, la vara (5.5 yardas o 16.5 pies) se definió (una vez más como un dispositivo de aprendizaje y no como un estándar) como la longitud del los pies izquierdos de 16 hombres alineados con los talones con los pies al salir de la iglesia. Para el siglo XVII, el uso y el estatuto habían establecido el acre, la vara y el estadio en sus valores actuales (4.840 yardas cuadradas, 16.5 pies y 660 pies, respectivamente), junto con otras unidades históricas. Las diversas libras comerciales de uso común se redujeron a solo dos: la libra troy, principalmente para metales preciosos, y la libra avoirdupois, para otros bienes vendidos por peso (Augustyn, 2021).

Establecimiento

La Ley de Pesos y Medidas de 1824 y la Ley de 1878 establecieron el Sistema Imperial Británico sobre la base de definiciones precisas de unidades existentes seleccionadas. La ley de 1824 sancionó un solo galón imperial para reemplazar los galones de vino, cerveza y maíz (trigo) entonces de uso general. El nuevo galón se definió como equivalente en volumen a 10 libras avoirdupois de agua destilada pesadas a 62 °F con el barómetro a 30 pulgadas, o 277.274 pulgadas cúbicas (luego corregido a 277.421 pulgadas cúbicas) (Augustyn, 2021).

Las dos nuevas unidades estándar básicas eran la yarda estándar imperial y la libra troy, que más tarde se restringió a pesar drogas, metales preciosos y joyas. Una ley de 1963 abolió medidas tan arcaicas como la vara y el caldero (una medida de carbón equivalente a 36 bushels) y redefinió la yarda y la libra estándar como 0.9144 metros y 0.45359237 kg respectivamente. El galón ahora equivale al espacio ocupado por 10 libras de agua destilada de densidad 0.998859 gramos por mililitro pesado en aire de densidad 0.001217 gramos por mililitro contra pesos de densidad 8.136 gramos por mililitro (Augustyn, 2021).

Mientras los británicos reformaban sus pesos y medidas en el siglo XIX, los estadounidenses simplemente estaban adoptando unidades basadas en las descartadas por la ley de 1824. El galón estadounidense estándar se basa en el galón de vino Queen Anne de 231 pulgadas cúbicas y es de aproximadamente 17 por ciento más pequeño que el galón imperial británico. El bushel estadounidense de 2150.42 pulgadas cúbicas, derivado del bushel de Winchester abandonado en Gran Bretaña, es aproximadamente un 3 por ciento más pequeño que el bushel imperial británico (Augustyn, 2021).

En el sistema británico, las unidades de capacidad líquida y seca son las mismas, mientras que en los Estados Unidos difieren; la pinta líquida y seca en Gran Bretaña equivalen a 0.568 decímetros cúbicos, mientras que la pinta líquida de EE. UU. es de 0.473 decímetros cúbicos y la pinta seca de EE. UU. es de 0.551 decímetros cúbicos (Augustyn, 2021).

Las unidades británicas y estadounidenses de medida lineal y peso son esencialmente las mismas. Las excepciones notables son la piedra británica de 14 libras, que no se usa en los Estados Unidos, y una divergencia en la definición del quintal (100 libras en los Estados Unidos, 112 en Gran Bretaña) que rinde dos toneladas diferentes, la tonelada estadounidense corta de 2000 libras y la tonelada británica larga de 2240 libras. En 1959, las principales naciones de habla inglesa adoptaron definiciones métricas comunes de la pulgada (2.54 cm), la yarda (0.9144 metros) y la libra imperial (0.4536 kg) (Augustyn, 2021).

En la siguiente tabla describiremos algunas de las unidades imperiales mas comunes.

Tabla 12‑1. Unidades de masa. A parte de las unidades imperiales colocaremos algunos equivalentes métricos importantes. También marcamos algunas unidades de uso común debido a la confusión con sus sinónimos.

Tabla 12‑2. Unidades de volumen.

Tabla 12‑3. Unidades de distancia.

Tabla 12‑4. Unidades de área.

Encarnaciones de las unidades imperiales

La Ley del Parlamento de 1824 definió la yarda y la libra por referencia a estándares prototipo, y también definió los valores de ciertas constantes físicas, para prever la recreación de los estándares en caso de que fueran dañados. Para la yarda, la longitud de un péndulo que late segundos en la latitud de Greenwich al nivel medio del mar en vacío se definió como 39.01393 pulgadas. Para la libra, la masa de una pulgada cúbica de agua destilada a una presión atmosférica de 30 pulgadas de mercurio y una temperatura de 62 ° Fahrenheit se definió como 252458 granos, con 7000 granos por libra (Rickards, 1817)

Tras la destrucción de los prototipos originales en el incendio de las Casas del Parlamento en 1834, resultó imposible recrear los estándares a partir de estas definiciones, y en 1855 se aprobó una nueva Ley de Pesos y Medidas (Victoria 18 y 19. Cap. 72) que permitió la recreación de los prototipos a partir de estándares secundarios reconocidos.

Relaciones con otros sistemas ingleses

El sistema imperial es uno de los muchos sistemas de unidades inglesas. La mayoría de las unidades se definen en más de un sistema, y ​​algunas unidades subsidiarias se utilizaron en mucha mayor medida, o para diferentes propósitos, en un área y no en otra. Las distinciones entre los sistemas a menudo no se trazan con precisión.

Una de esas distinciones es la que existe entre el sistema imperial y las unidades / sistemas británicos / ingleses más antiguos o las adiciones más recientes con las definiciones de los Estados Unidos de América. El término imperial no debe aplicarse a las unidades inglesas que fueron prohibidas por la Ley de Pesas y Medidas de 1824 o antes, o que habían caído en desuso en ese momento, ni a las invenciones posimperiales, como la babosa o el poundal.

El sistema habitual de los Estados Unidos se deriva de las unidades inglesas que estaban en uso en el momento del asentamiento original de América del Norte desde Inglaterra en el siglo XVII. Y debido a que Estados Unidos se había independizado de Gran Bretaña antes del siglo XIX, las unidades tradicionales estadounidenses no se vieron afectadas por la introducción del sistema imperial por parte de Gran Bretaña en 1824.