[Ciencias de Joseleg]
[Física] [Mecánica]
[Unidades y medidas]
[Ejercicios resueltos]
[1-Introducción]
[2-Medición y el método
científico][3-Que son las unidades de
medición][4-Historia de la medición][5-Sistema métrico decimal][6-Viejo sistema
internacional de unidades] [7-Unidades fundamentales]
[8-Nuevo Sistema
internacional de unidades][ 9-Unidades derivadas][10-Prefijos decimales y
notación exponencial][11-Lenguaje del sistema internacional][12-El sistema imperial][13-Cifras significativas][14-Notación científica][15-Conversiones de unidades][16-Medición e incertidumbre][17-Regla de tres analítica][18-Análisis dimensional][Referencias]
Cuando realizas una medida, empleas algún tipo de instrumento de medición.
Por ejemplo, pues emplear metro para medir una altura, una balanza para
determinar un peso, a un termómetro para determinar una temperatura. Por lo
general los valores medidos directamente deben ser empleados in cálculos
matemáticos que no siempre arrojan números enteros. Para poder controlar la
cantidad de decimales obtenidos en dichos cálculos se emplea una serie de
reglas que se denominan en su conjunto como cifras significativas. Las cifras
significativas son una serie de valores que portan un significado verdadero al
interior del número. Antes de aprender a operar empleando las cifras
significativas, es esencial aprender a reconocerlas en diferentes tipos de
números.
Números exactos e
inexactos
La posibilidad de redondeo depende del tipo de número con el que nos
estamos enfrentando.
El número exacto
Un número exacto es un valor que se conoce con total certeza. En otras
palabras, un número exacto tiene incertidumbre cero y un número infinito de
cifras significativas. Un número exacto no se puede simplificar ni reducir. Los
ejemplos de números exactos incluyen números contados, unidades definidas y
conversiones de unidades definidas. Muchos números exactos son enteros, pero
algunos son decimales. Aquí hay ejemplos específicos: El número de personas en
una familia; El número de manzanas en una bolsa; Velocidad de la luz en el
vacío (exactamente 299792458 m/s); El número de pies en una milla (exactamente
5280); El número de centímetros en un metro (exactamente 100); Número de
protones en un átomo de carbono (6); Minutos en una hora (60); Número de
Avogadro bajo la definición de 2019 (6.02214076000000000000000 × 1023);
El número de centímetros en una pulgada (exactamente 2.54); Número de páginas
en un libro. Observe que algunas de estas constantes se fijan por arbitrio, un
ejemplo es el número de Avogadro que en teoría previa a 2019 debe tener 23
cifras significativas, pero que a partir de 2019 siempre tendrá 9.
No todos los números exactos son definiciones arbitrarias, en otras
ocasiones son relaciones de número de entidad, muy comunes en química como: La
fórmula molecular que se define por la ley de proporciones definidas emplea
subíndices para el número de átomos por molécula, proporción que es un número
exacto; Un átomo contiene un número exacto de protones, neutrones y electrones;
La relación molar entre cualquier reactivo y producto en una ecuación
balanceada es un número exacto; El estado de oxidación y el número de
electrones de valencia de un átomo son números exactos; Por lo general, el
número de átomos en una molécula es un número exacto. Las excepciones incluyen
algunos polímeros.
No todas las unidades y sus conversiones están definidas, por lo que
determinar si una específica es o no un número exacto puede ser complicado. A
partir de 2019, todas las unidades base del SI están definidas por arbitrio,
por lo que todas son números exactos. Algunas unidades imperiales también se
definen según las unidades básicas del SI, por lo que también son números
exactos. En el pasado, muchos de estos valores dependían de mediciones
empíricas y eran inexactos. Por ejemplo, la velocidad de la luz y la masa de un
kilogramo eran valores medidos hasta hace relativamente poco tiempo.
Números inexactos
Otros números contienen incertidumbre. Los valores medidos, las estimaciones,
los números redondeados y algunas conversiones de unidades son números
inexactos. Aquí hay unos ejemplos: Tu peso en una báscula; Distancia entre el
polo norte y sur; Cualquier constante redondeada como el número de Avogadro 6.022
x 1023; Aproximando el número de libras por kilogramo como 1 kg =
2.2 lb; Número de horas que duermes (porque es un valor medido).
Números exactos,
incertidumbre y cifras significativas
Los
números exactos son importantes en los cálculos científicos porque no contienen incertidumbre y tienen infinitas cifras significativas.
Entonces, aunque un número exacto puede ser de un solo dígito, no limita las
cifras significativas en un cálculo a un dígito. Tenga cuidado al identificar
los números exactos. No siempre incluyen puntos decimales. Por ejemplo, reporta
la masa de dos moles de átomos de carbono. En este caso, el “2” es un número
exacto. Está escrito como "2" y no como "2.0" o
"2.00". La masa de un mol de átomos de carbono es un número
redondeado (12.01 g/mol) que contiene cuatro cifras significativas. Tu
respuesta, a su vez, tiene cuatro cifras significativas y no una: La masa de
dos moles es 2 x 12.01 = 24.01 gramos. A veces, el número exacto tiene más
dígitos que otros números en un cálculo. Cuando esto ocurra, recuerde que el
valor con el menor número de dígitos significativos determina el número de
cifras significativas en su respuesta.
Para
resumir, en general los números exactos son constantes de proporcionalidad, por
lo que podemos asumir que las constantes no se tienen en cuenta para calcular
las cifras significativas, aunque si se las usa con la suficiente certidumbre
cuando se las redondea para no generar desviaciones.
Reglas
para las cifras significativas
👉 Emplee un símbolo de separación (punto o coma) únicamente
para separar enteros de decimales, los miles, millones, trillones no los
separe, eso le evitará confusiones.
👉 Los valores que vienen en un enunciado siempre se los
asume como significativos.
🔎 Todos los números enteros son cifras significativas, aunque
sean ceros a la derecha, por ejemplo 50 posee dos cifras significativas,
50 posee dos cifras significativas, 1000 posee cuatro cifras significativas y
así sucesivamente.
🔎 Los ceros intermedios en enteros y decimales cuentan
como cifras significativas, por ejemplo 101, 208 y 5.08 tienen todos tres
cifras significativas
🔎 Los ceros a la izquierda nunca son significativos, por ejemplo
0.0050 tiene dos cifras significativas.
🔎 En una notación científica el valor que va antes de x10n
es significativo, mientras que la base y la potencia no lo es.
👉 Las constantes y definiciones no afectan las cifras
significativas
🔎 Si la constante posee decimales, redondéela a las cifras
significativas del ejercicio.
Ejemplo. Identificar las cifras significativas de los siguientes
valores, asuma que todos proceden de mediciones, es decir, son valores reales:
40 m; 202 km/h; 6.09 mol; 0.0000048 átomos Cl; 6.022 x 1023 mol-1.
Ejemplo. Identificar las
cifras significativas de los siguientes valores, asuma que todos proceden de
mediciones, es decir, son valores reales: 300
L; 5004 g/L; 6.0009 K; 0.000408 moléculas O; 1.674 x 10-24 g.
Ejemplo. Si estamos operando
(6.022 x 1023) por (0.0000048) donde el primer valor es una
constante y el segundo una variable, ¿cuál término condiciona las cifras significativas?
Química de Chang 10
Ejemplo 1.4. Determine
el número de cifras significativas en las siguientes medidas: (a) 478 cm, (b)
6.01 g, (c) 0.825 m, (d) 0.043 kg, (e) 1.310 ×
1022 átomos, (f) 7000 mL.
Práctica 1.4. Determine
el número de cifras significativas en cada una de las siguientes medidas: (a)
24 ml, (b) 3001 g, (c) 0.0320 m3, (d) 6.4 ×
104 moléculas, (e) 560 kg.
Problema-1.33ad. Determine el número de cifras significativas
en los siguientes valores: (a) 4867 mi (b) 56 mL (c) 60,104 ton (d) 2900 g.
Problema-1.33eh. Determine el número de cifras significativas
en los siguientes valores: (e) 40.2 g/cm3 (f) 0.0000003 cm (g) 0.7
min (h) 4.6 x 1019 átomos.
Problema-1.34ac. Determine el número de cifras significativas
en los siguientes valores: (a) 0.006 L, (b) 0.0605 dm, (c) 60.5 mg,
Problema-1.34dg. Determine el número de cifras significativas
en los siguientes valores: (d) 605.5 cm2, (e) 960 x 10-3 g, (f) 6 kg,
(g) 60 m.
Química la ciencia
central 13
Muestra 1.5. ¿Qué
diferencia existe entre los valores medidos 4.0 y 4.00 g?
Práctica
1.5.1. Mo Farah ganó la carrera de 10000 metros en
los Juegos Olímpicos de 2012 con un tiempo oficial de 27 minutos, 30.42 s. Con
el número correcto de cifras significativas, ¿cuál fue la rapidez promedio de
Farah en m/s? (a) 0.6059 m/s, (b) 1.65042 m/s, (c)
6.059064 m/s, (d) 0.165042 m/s, (e) 6.626192 m/s.
Práctica 1.5.2. Una
muestra que tiene una masa de aproximadamente 25 g se pesa en una balanza que
tiene una precisión de ± 0.001 g. ¿Cuántas cifras significativas se deben
reportar para esta medida?
Muestra
1.6. El
estado de Colorado aparece en un atlas de carreteras con una población de 4 301
261 y un área de 104 091 millas cuadradas. ¿Parece razonable el número de
cifras significativas en estas dos cantidades? Si no, ¿qué parece estar mal con
ellos?
Práctica
1.6.1. ¿Cuáles
de los siguientes números en tu vida personal son números exactos? (a) Su
número de teléfono celular, (b) su peso, (c) su coeficiente intelectual, (d) su
número de licencia de conducir, (e) la distancia que caminó ayer.
Práctica
1.6.2. La
contraportada interior del libro nos dice que hay 5280 pies en 1 milla. ¿Esto
hace que la milla sea una distancia exacta?
Muestra
1.7. ¿Cuántas
cifras significativas hay en cada uno de los siguientes números (suponga que
cada número es una cantidad medida)? (a) 4.003, (b) 6.023 x 1023,
(c) 5000.
Práctica
1.6.2. Sylvia
siente como si pudiera tener fiebre. Su temperatura corporal normal es de 98.7
°F. Mide la temperatura de su cuerpo con un termómetro colocado debajo de la
lengua y obtiene un valor de 102.8 °F. ¿Cuántas cifras significativas hay en
esta medida? (a) Tres, el número de grados a la izquierda del punto decimal;
(b) cuatro, el número de dígitos en la lectura medida; (c) dos, el número de
dígitos en la diferencia entre su lectura actual y su temperatura corporal
normal; (d) tres, el número de dígitos de su temperatura corporal normal; (e)
uno, el número de dígitos a la derecha del punto decimal en el valor medido.
Práctica
1.6.3. ¿Cuántas
cifras significativas hay en cada una de las siguientes medidas? (a) 3.549 g,
(b) 2.3 x 104 cm, (c) 0.00134 m3.
Ejercicio
1.35. Indique
cuáles de los siguientes son números exactos: (a) la masa de una ficha de 3 por
5 pulgadas, (b) el número de onzas en una libra, (c) el volumen de una taza de
café Seattle's Best, ( d) el número de pulgadas en una milla, (e) el número de
microsegundos en una semana, (f) el número de páginas en este libro.
Ejercicio
1.36 Indique cuáles de los siguientes son números
exactos: (a) la masa de una lata de café de 32 onzas, (b) el número de
estudiantes en su clase de química, (c) la temperatura de la superficie del
Sol, (d ) la masa de un sello postal, (e) el número de mililitros en un metro
cúbico de agua, (f) la estatura promedio de los jugadores de baloncesto de la
NBA.
Ejercicio
1.37 ¿Cuál es el número de cifras significativas
en cada una de las siguientes cantidades medidas? (a) 601 kg, (b) 0.054 s, (c)
6.3050 cm, (d) 0.0105 L, (e) 7.0500 x 10-3 m3, (f) 400 g.
Ejercicio
1.38 Indique el número de cifras significativas
en cada una de las siguientes cantidades medidas: (a) 3.774 km, (b) 205 m2,
(c) 1.700 cm, (d) 350.00 K, (e) 307.080 g, (f) 1.3* 103 m/s.
Aproximaciones
de Fermi
En física o ingeniería, un problema de Fermi, prueba de Fermi, pregunta de
Fermi, estimación de Fermi, cálculo de Fermi, aproximación de Fermi o
estimación de orden es un problema de
estimación diseñado para enseñar el análisis dimensional o a aproximar.
Figura 13‑1. Enrico Fermi (Roma, 29 de
septiembre de 1901-Chicago, 28 de noviembre de 1954) fue un físico Italiano
naturalizado estadounidense conocido por el desarrollo del primer reactor
nuclear y sus contribuciones al desarrollo de la teoría cuántica, la física nuclear
y de partículas, y la mecánica estadística. En 1938 Fermi recibió el Premio
Nobel de Física por sus trabajos sobre radiactividad inducida y es considerado
uno de los científicos más destacados del siglo XX.
Para nuestros propósitos significa que muchos de los cálculos físico-químicos
no necesariamente deben hacerse con toda la precisión del mundo especialmente
cuando no contamos con una calculadora. por ejemplo, si estamos determinando
aproximadamente el número de moléculas que hay en cierta cantidad de moles
normalmente se nos pide multiplicar esas moles por el número de Avogadro 6.022
x 1023 1/mol. Si queremos resolver esto por una estimación de fermi
podemos ignorar todos los decimales del número de Avogadro y simplemente
multiplicar el número de Avogadro por 6 x 1023 mol-1. Las
estimaciones o aproximaciones de Fermi serán muy útiles en contextos donde es
prohibido emplear una calculadora como en las pruebas de Estado saber 11.
Operaciones con cifras significativas
La estrategia con las cifras significativas posee dos rutas dependiendo de
la disponibilidad de una calculadora.
👉 Si se tiene acceso a una calculadora o equivalente, opere
todo con la mayor cantidad de cifras que le sea posible, y redondee el
resultado final a las cifras significativas indicadas.
👉 Si se debe realizar la operación a mano, redondee todos los
términos al limitador de cifras significativas antes de realizar la aritmética
(realice aproximaciones de Fermi de ser posible) y realice las operaciones
calculando los términos más significativos primero.
Redondeo
Cuando eliminadas las cifras decimales para obtener las cifras significativas, te ves obligado a realizar la operación de redondeo. La regla redondeo es la siguiente, se tiene que identificar la primer cifras sin significado a la derecha, si esta cifra es 4 o menos entonces escribe el número hasta la última cifra significativa sin alterarlo; si y la cifra no significativa es igual a 5 o más entonces la primera cifra significativa aumenta en una unidad. Miremos los siguientes ejemplos, digamos que en todos los valores con decimales debemos redondear a solo un decimal de confianza, así deberemos distinguir entre la
Ejemplo. Redondee la
constante de Avogadro 6.02214076 × 1023 mol-1 a dos
cifras significativas y a una cifra significativa.
Ejemplo. Redondee la
constante de carga elemental 1.602176634
× 10−19 C a dos cifras significativas y a una cifra significativa.
Ejemplo. Redondee el peso
atómico del carbono, el hidrógeno y el oxígeno a sin decimales.
Ejemplo. Redondee el peso atómico del sodio, el litio y el
potasio a dos decimales de confianza.
Química la ciencia central
Práctica 1.9.1. ¿Cuál de los
siguientes números está correctamente redondeado a tres cifras significativas,
como se muestra entre paréntesis? (a) 12 556 [12 500], (b) 4.5671 x 10-9
[4.567 x 10-9], (c) 3.00072 [3.001], (d) 0.006739 [0.00674], (e) 5.4589
x 105 [5.459 x 105].
Sumas y restas
Solo se tienen en cuenta las Cifras significativas decimales, las cuales se
encuentran a la derecha de la coma decimal. La respuesta tiene la cantidad de
decimales igual al integrante de la operación con la MENOR cantidad de
decimales.
Ejemplo. Realizar la
siguiente suma, de forma tal que la respuesta se exprese con las cifras
significativas correspondientes: 20.42 + 1.322 + 83.1.
Ejemplo. Realizar la siguiente suma, de forma tal que la
respuesta se exprese con las cifras significativas correspondientes: 16.00 + 1.008
+ 1.008.
Ejemplo. Realizar la
siguiente suma, de forma tal que la respuesta se exprese con las cifras
significativas correspondientes: 12.01+ 15.99994 + 15.99994.
Ejemplo. Realizar la
siguiente suma, de forma tal que la respuesta se exprese con las cifras
significativas correspondientes: 22.989869
+ 1.01.
Química de Chang
Ejemplo 1.5a. Realice
la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras
significativas 11 254.1 g + 0.1983 g,
Ejemplo 1.5b. Realice la siguiente operación aritmética
con el número correcto de cifras significativas 66.59
L – 3.113 L,
Práctica 1.5a. Realice
la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras
significativas 26.5862 L + 0.17 L
Práctica 1.5b. Realice
la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras
significativas 9.1 g - 4.682 g
Química la ciencia central
Muestra 1.9. Un recipiente que contiene un gas a 25 °C se pesa, se
vacía y luego se vuelve a pesar como se muestra en la figura ▼. A partir de los
datos proporcionados, calcule la densidad del gas a 25 °C. ¿Podría calcularse
la densidad del gas con cuatro cifras significativas si la masa se mide en una
balanza de tres decimales de confianza?
Ejercicio
1.41a. Realice la
siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras
significativas. 14.3505 + 2.65
Ejercicio 1.41b.
Realice la siguiente operación y exprese las respuestas
con el número apropiado de cifras significativas 952.7 - 140.7389
Multiplicaciones y divisiones
Se toman en cuenta TODAS las cifras significativas sin importar la posición
de la coma. La cantidad de cifras significativas es igual al miembro de la
operación con menos cifras significativas. El punto con la respuesta es que
podemos tener varias opciones posibles, que la coma se mantenga en su lugar,
que la coma se mueva a la derecha o que la coma se mueva a la izquierda.
Ejemplo. Realizar la siguiente operación teniendo en cuenta las
cifras significativas A = 6.221 x 5.2
Ejemplo. Realizar la
siguiente operación teniendo en cuenta las cifras significativas n = 60 / 12.01
Química de Chang
Ejemplo 1.5c. Realice la siguiente operación aritmética
con el número correcto de cifras significativas 8.16
m x 5.1355.
Ejemplo 1.5d. Realice
la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras
significativas 0.0154 kg / 88.3 mL,
Práctica 1.5d. Realice la siguiente operación aritmética
con el número correcto de cifras significativas 6.54
g / 86.5542 ml
Química la ciencia central
Muestra 1.8. El ancho, largo y
alto de una caja pequeña son 15.5, 27.3 y 5.4 cm, respectivamente. Calcula el
volumen de la caja, usando el número correcto de cifras significativas en tu
respuesta.
Práctica 1.8.1. Ellen compró
recientemente un nuevo automóvil híbrido y quiere verificar el rendimiento de
la gasolina. En un ajuste del odómetro de 651.1 millas, llena el tanque. A 1314.4
mi, necesita 16.1 gal para volver a llenar el tanque. Suponiendo que el tanque
se llene al mismo nivel en ambas ocasiones, ¿cómo se expresa mejor el
rendimiento de la gasolina? (a) 40 mi/gal, (b) 41 mi/gal, (c) 41.2 mi/gal, (d)
41.20 mi/gal.
Práctica 1.8.2. Un velocista tarda
10.5 s en correr 100.00 m. Calcule su velocidad promedio en metros por segundo
y exprese el resultado con el número correcto de cifras significativas.
Ejercicio
1.41d. Realice la
siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras
significativas (d) 0.0588/0.677.
Potencias
no base 10 y raíces
En las potencias de base no diez (mn) tanto (m)
como (n) afectan las cifras significativas con las mismas reglas que en
multiplicaciones y divisiones. Esto también afectaría a las raíces, pues en
realidad son potencias fraccionarias, la raíz cuadrada es la potencia ½, la
raíz cúbica la potencia 1/3 y así sucesivamente, sin embargo, en tales casos
asumiremos dichas potencias como constantes que no afectan las cifras
significativas, de lo contrario cálculos que involucran raíces como
aceleraciones siempre tendrían una sola cifra significativa y eso sería
malicioso.
Ejemplo. Realizar la
siguiente operación teniendo en cuenta las cifras significativas 420.25
40.25 420.5
Logaritmos
base diez, logaritmos naturales y potencias base 10 sin coeficientes
significativos.
Para contar las cifras significativas, debemos introducir el concepto de
mantisa. Originalmente, en el ámbito de los logaritmos, la mantisa de un
número decimal es su parte decimal o fraccionaria, prescindiendo de su parte
entera. En el número decimal 123.7585, la parte entera es 123 y la mantisa es
0.7585. En el número decimal negativo -17.228, la parte entera es -17 y la
mantisa es 0.228. Solo los dígitos en la mantisa de un logaritmo son
significativos, los dígitos después del separador decimal, en consecuencia, las
cifras significativas se cuentan desde el primer decimal de confianza en
adelante.
Ejemplo. Realizar la
siguiente operación teniendo las cifras significativas log(42)
Ejemplo. Realizar la
siguiente operación teniendo las cifras significativas ln(32)
Para la
potencia base 10, las cifras significativas de su respuesta se contarán
únicamente con la mantisa de su potencia.
Ejemplo. Realizar la siguiente operación teniendo las cifras significativas 10-1.45
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